Practica Sobre Espacio Muestral .

Introducción al Curso de Probabilidad

CBTIS 51
ACADEMIA DE MATEMATICAS

CURSO: PROB. Y ESTADISTICA
FECHA 4 Julio 2014

La estadística es una ciencia con base matemática referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio.

La estadística se divide en dos ramas: La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústers, etc.

La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y minería de datos.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc.

La palabra «estadística» procede del latín statísticum collégium (‘consejo de Estado’) y de su derivado italiano statista (‘hombre de Estado’ o ‘político’). El término alemán statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, «la ciencia del Estado» (también llamada «aritmética política» de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término «estadística» adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair.

En su origen, por tanto, la estadística estuvo asociada a datos, a ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos acerca de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística nacionales e internacionales. En particular, los censos suministran información regular acerca de la población.

Desde los comienzos de la civilización han existido maneras sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos.

Orígenes en probabilidad. Los métodos estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars coniectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas.[1] En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.

La teoría de errores se puede remontar a la Ópera miscellánea (póstuma, 1722) de Roger Cotes y al trabajo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) el cual aplica por primera vez la teoría de la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de este trabajo incluye el axioma de que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los errores; se describen errores continuos y una curva de probabilidad.

Pierre-Simon Laplace (1774) hace el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones desde los principios de la teoría de probabilidades. Laplace representó la ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de facilidad del error (término introducido por Lagrange, 1744) pero con ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introduce el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los errores en mediciones, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808), y Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa predicción de la localización del planeta enano Ceres en 1801. Pruebas adicionales fueron escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870). Otros contribuidores fueron Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters para r, el probable error de una observación simple es bien conocido.
El siglo XIX incluye autores como Laplace, Silvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien introdujo la noción del «hombre promedio» (l’homme moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios.

Durante el siglo XX, la creación de instrumentos precisos para asuntos de salud pública (epidemiología, bioestadística, etc.) y propósitos económicos y sociales (tasa de desempleo, econometría, etc.) necesitó de avances sustanciales en las prácticas estadísticas.

Hoy el uso de la estadística se ha extendido más allá de sus orígenes como un servicio al Estado o al gobierno. Personas y organizaciones usan la estadística para entender datos y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales, medicina, negocios y otras áreas. La estadística es entendida generalmente no como un sub-área de las matemáticas sino como una ciencia diferente «aliada». Muchas universidades tienen departamentos académicos de matemáticas y estadística separadamente. La estadística se enseña en departamentos tan diversos como psicología, educación y salud pública.

Técnicas estadísticas. Algunas tecnicas y procedimientos para investigación de observaciones bien conocidos son:
Prueba t de Student Prueba de χ² Análisis de varianza (ANOVA)
U de Mann-Whitney Análisis de regresión Correlación Iconografía de las correlaciones
Prueba de la diferencia menos significante de Fisher
Coeficiente de correlación producto momento de Pearson
Coeficiente de correlación de rangos de Spearman
Análisis factorial exploratorio Análisis factorial confirmatorio

Algunos campos de investigación usan la estadística tan extensamente que tienen terminología especializada. Estas disciplinas incluyen:
Ciencias actuariales Física estadística Estadística industrial Estadística Espacial
Matemáticas Estadística Estadística en Medicina Estadística en Nutrición
Estadística en Agronomía Estadística en Planificación Estadística en Investigación
Estadística en Restauración de Obras Estadística en Medicina Veterinaria y Zootecnia
Estadística en Literatura Estadística en Astronomía Estadística en Historia
Estadística militar Geoestadística Bioestadística Estadísticas de Negocios
Estadística Computacional Estadística en la Antropología (Antropometría)
Estadística en las Ciencias de la Salud Investigación de Operaciones
Estadísticas de Consultoría Estadística de la educación, la enseñanza, y la formación
Estadística en la comercialización o mercadotecnia Cienciometría
Estadística del Medio Ambiente Estadística en Epidemiología
Estadística económica (Econometría) Estadística en Ingeniería
Geografía y Sistemas de información geográfica, más específicamente en Análisis espacial
Demografía Estadística en psicología (Psicometría) Calidad y productividad
Estadísticas sociales (para todas las ciencias sociales) Cultura estadística
Encuestas por Muestreo Confiabilidad estadística Procesamiento de imágenes
Estadísticas Deportivas

La estadística es una herramienta básica en negocios y producción. Es usada para entender la variabilidad de sistemas de medición, control de procesos (como en control estadístico de procesos o SPC (CEP)), para compilar datos y para tomar decisiones. En estas aplicaciones es una herramienta clave, y probablemente la única herramienta disponible.

Computación estadística. El rápido y sostenido incremento en el poder de cálculo de la computación desde la segunda mitad del siglo XX ha tenido un sustancial impacto en la práctica de la ciencia estadística. Viejos modelos estadísticos fueron casi siempre de la clase de los modelos lineales. Ahora, complejos computadores junto con apropiados algoritmos numéricos, han causado un renacer del interés en modelos no lineales (especialmente redes neuronales y árboles de decisión) y la creación de nuevos tipos tales como modelos lineales generalizados y modelos multinivel.

Cuestionario sobre la Definición de Probabilidad

ACADEMIA DE MATEMATICAS

CBTIS 51

CURSO: PROB. Y ESTADISTICA
Ejercicio sobre la Definición de Probabilidad.


INSTRUCCIONES. En cada uno de los enunciados siguientes debes asignar el concepto de probabilidad que le corresponda de los cuatro siguientes: • El punto de vista objetivo , • Definición clásica o a priori • Definición frecuentista o a posteriori • El punto de vista subjetivo

Para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. _________________________

Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente válidos. _______________________________


Consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. ____________________________

Es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general. ___________________________________


Se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori,
_________________________________________


La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio __________________________________________

Se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente ___________________________________


Está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. ____________________________________


No dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra. _____________________________________


Define los conceptos siguientes.

Espacio muestral,
Experimento aleatorio
Eventos mutuamente excluyen

Probabilidad: Ejercicio 01

INSTRUCCIONES. Después de analizar y resolver correctamente cada problema exprese su resultado de manera porcentual.

I. En una urna se han depositado 12 canicas verdes, 7 azules, 5 blancas, 13 rojas y 6 amarillas. Si después de agitar la urna se extrae una canica, conteste las preguntas siguientes:
1. ¿cuál es el espacio muestral, escríbalo?

________________________________________
2. ¿cuál será la probabilidad de que la canica sea:
a) Verde, _______________
b) azul, _______________
c) No roja _______________
d) No amarilla. _______________
3. ¿qué es más probable: ¿sacar blanca o amarilla?, y porque?.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

II. Si se lanzan dos dados bien balanceados, calcular la probabilidad de los eventos siguientes:
a) Tres en el primero y dos en el segundo. __________________
b) Par y Par, __________________
c) Par y primo. __________________
d) Que la suma de ambos sea 6. __________________
e) Que caiga 3 en cualquiera de ambos. __________________
f) Que la suma no sea 8 __________________


III. Un juego de cartas inglesas se compone de 52 cartas: 13 tréboles (Negras), 13 hojas (Negras), 13 diamantes (Rojas) y 13 corazones (Rojas). En cada tipo de estas trece cartas, hay cuatro letras (también se les llama figuras) A = AS, J = ?, Q = REINA y K = REY. Además de los números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Con base en la información siguiente, calcular la probabilidad de los eventos siguientes:
1. Al sacar una carta sea:
a) K (REY) ________________
b) Trébol ________________
c) No sea corazón ________________
d) Reina de corazones ________________
e) Un as ________________

2. Al sacar dos cartas sean:
a) Dos ases ________________
b) Dos corazones ________________
c) 3 o 7 de diamantes ________________
d) Cartas rojas ________________
e) Carta negra o un 5 ________________

Definición de Probabilidad

ACADEMIA DE MATEMATICAS
CBTIS 51
CURSO: PROB. Y ESTADISTICA
Prof.Rafael Solís Ibarra.
Apunte 01: Definición de Probabilidad.

Cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse un número muy parecido de veces, lo cual indica que la frecuencia de aparición de cada resultado tiende a estabilizarse.
El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es adquirido de forma intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente. Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio. A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por p(A).

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:
• Al suceso imposible le corresponde el valor 0
• Al suceso seguro le corresponde el valor 1

• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1

El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de vista:
• El punto de vista objetivo
• Definición clásica o a priori
• Definición frecuentista o a posteriori
• El punto de vista subjetivo

Definición Clásica de la Probabilidad
Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral E está formado por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir {e1, e2, ... , en} Si n1 resultados constituyen el subconjunto o suceso A1, n2 resultados constituyen el subconjunto o suceso A2 y, en general, nk resultados constituyen el subconjunto o suceso Ak de tal forma que: es decir, que la probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables que integran el suceso A Regla de Laplace para E finitos y el número de casos posibles del espacio muestral E.
• Para que se pueda aplicar la regla de Laplace es necesario que todos los sucesos elementales sean equiprobables, es decir:
• Siendo A= La probabilidad verifica las siguientes condiciones:
• La probabilidad de cualquier suceso es siempre un número no negativo entre 0 y 1
• La probabilidad del suceso seguro E vale 1
• La probabilidad del suceso imposible es 0
• La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles o excluyentes A1, A1,..., Ar es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos

Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso.

La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación. Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad

3. Definición Frecuentista de la Probabilidad
La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A.
Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse. Esta definición frecuentista de la probabilidad se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas

4. Definición Subjetiva de la Probabilidad
Tanto la definición clásica como la frecuentista se basan en las repeticiones del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede aplicarse la interpretación objetiva de la probabilidad. En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra. Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente válidos

5. Definición Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad es quizás la más simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que está basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mínimos para dar una definición de probabilidad. La ventaja de esta definición es que permite un desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadísticos y matemáticos en general

Probabilidad Condicionada
Hasta ahora hemos introducido el concepto de probabilidad considerando que la única información sobre el experimento era el espacio muestral. Sin embargo hay situaciones en las que se incorpora información suplementaria respecto de un suceso relacionado con el experimento aleatorio, cambiando su probabilidad de ocurrencia El hecho de introducir más información, como puede ser la ocurrencia de otro suceso, conduce a que determinados sucesos no pueden haber ocurrido, variando el espacio de resultados y cambiando sus probabilidades

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Rafael Solis Ibarra